O Número de Gödel

Para entendermos um pouco mais do “teorema da incompletude”, proposto por Godel, é importante entender a linguagem que tal estudioso fiou-se em criar, pois para que conseguisse provar a incompletude de determinados axiomas e ao mesmo tempo provar sua consistência Gödel viu-se obrigado a criar uma linguagem estritamente numérica, capaz de descrever e articular os resultados matemáticos.

Assim Gödel construiu um sistema que associa a cada símbolo  um único número natural. Vejam este esquema:

Sinais	Número de Gödel	Significado
~	1	Não
v	2	Ou
R	3	Se ... Então
$	4	Existe
=	5	Igual
0	6	Zero
s	7	Sucessor
(	8	Pontuação
)	9	Pontuação
,	10	Pontuação

Gödel prossegue a numeração associando os números primos maiores que dez às variáveis  independentes:

Variável	Número de Gödel
x	11
y	13
z	17

Temos também as fórmula p, q, e r, que são numeradas pelos quadrados dos primos maiores que dez:

Fórmulas	Número de Gödel
P	11 2
Q	12 2
r	17 2

Agora temos um exemplo para elucidar melhor como podemos aplicar o número de Gödel à proposições. Note que no desenvolver da demonstração, cada proposição só pode ter um único número que a represente. Assim, tomemos o seguinte exemplo: “Existe um x que é o sucessor de y” 

Esse exemplo pode ser expresso utilizando-se aqueles símbolos propostos por Gödel. Com isso temos: ($x) (x=sy).

Sua numeração é a seguinte:

(	$	x	)	(	x	=	s	y	)
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
8	4	11	9	8	11	5	7	13	9

Essa é relação entre os símbolos da fórmula, que representa a proposição enunciada, e os números que a correspondem. Porém Gödel não para por aí, ele soluciona o problema de transformar os diversos símbolos  em um único número que represente a fórmula completa. Assim Gödel usou cada número da tabela acima como expoente dos números primos em seqüência. Para a fórmula que tomamos como exemplo temos o seguinte número:

 2 ⁸ x3 ⁴ x 5 ¹¹ x 7 ⁹ x 11 ⁸ x 13 ¹¹ x 17 ⁵ x 19 ⁷ x 23 ¹³ x 29 ⁹

O número acima pode ser calculado, mas como se pode notar é muito grande. Mas o mais importante é que Gödel conseguiu com essa simbolização mostrar que cada proposição, quando traduzida em caracteres matemáticos, só pode ter uma única fórmula, que por sua vez equivale a um único número.