Kurt Gödel e Sua Contribuição para a Matemática

O matemático Kurt Gödel, que viveu de 1906 a 1978, ficou muito conhecido por desenvolver o “teorema da incompletude”, que possibilita ao referido matemático afirmar que qualquer sistema axiomático, tendo por base os números inteiros, não pode ser ao mesmo tempo completo e consistente.

Isso nos leva a considerar que o aparecimento de paradoxos na matemática é inevitável. Agora isso não significa que não exista a consistência de nada. O detalhe que temos que ter atenção é que para provar que um sistema é consistente ele deve por consequência ser incompleto e vice versa.

Assim para reconhecer um sistema como consistente temos que expulsar os paradoxos deste, o que por sua vez só nos é possível se reconhecermos as próprias limitações de tal sistema, ou seja, temos que reconhecer que o sistema não pode fazer julgamento acerca da validade ou falsidade nos paradoxos. Esses serão portanto indecidíveis  e serão responsáveis pela consistência do sistema matemático

Temos então, que o preço da consistência de um sistema é a existência de indecidíveis. E é isso que Gödel se esforça por provar, concebendo o que conhecemos como a “Prova de Gödel”. Para isso o matemático fiou-se em mapear toda a metamatemática para dentro da aritmética. Isso se deu pelo fato de a aritmética ser um ramo da matemática onde se tem menos a interferência da intuição e do desejo, não havendo por isso desenhos e a necessidade de se fazer analogias com a natureza. Esse foi um trabalho e tanto. Se nos reportarmos ao antecessor de Gödel, o matemático Hilbert, veremos que este fez o mesmo processo que Godel, no entanto ele havia mapeado a matemática para dentro da aritmética e não como fez este último mapeando a metamatemática para dentro da aritmética.

Isso era necessário para Kurt Godel, pois para esse havia até então uma grande promiscuidade entre a matemática e a metamatemática, que é reconhecido no paradoxo de Richard. Vejamos tal paradoxo:

 “del se esforça por provar, concebendo o que conhecemos como a Prova de Godelatem Pode acontecer em certos casos que o próprio número associado a uma certa definição possua a propriedade descrita por ela. Por exemplo: se o número associado à definição da propriedade de um número ser primo , "divisível apenas por si mesmo e pela unidade" , é 19 , temos claramente que ele, o 19 , possui a propriedade descrita pela expressão de número 19 . Por outro lado pode acontecer, o que deve ser inclusive mais provável, o contrário: que o número associado à definição de uma certa propriedade da aritmética não possua a propriedade descrita pela definição a que ele se refere. Por exemplo: se o número associado à definição da propriedade de um número ser par , "múltiplo de dois" é 35 , temos, também claramente, que ele o 35 , não possui a propriedade a que ele se refere, ou seja, a de ser um número par .”( Exemplo retirado do texto: Uma viagem informal ao teorema de Godel, de Ricardo kubrusly. http://www.im.ufrj.br)

E é isso que Godel quer contornar, para que se construa uma interpretação que não possua uma trapaça na construção dos paradoxos.